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21 cm à 96 dpi, ça veut dire que les 15 cm pour la largeur initiale ont été scannés à 96 x (21/15) = 134 dpi. C'est beaucoup trop faible. 

Si tu scannes à 300 dpi et que tu doubles la largeur à l'impression pour couvrir les 30 cm que tu souhaites, ça te ferait une impression à 150 dpi. C'est un peu faible, mais ça peut passer si on ne regarde pas de trop près (une accentuation avant le tirage sera la bienvenue)

Tu peux essayer de scanner avec une résolution plus élevée, tout dépend de la qualité d'impression de ta carte postale. Pour les vieilles photos tirées par contact, on peut allègrement doubler la résolution et même davantage, mais pour pour une carte postale imprimée, je suis assez sceptique.

Dans tous les cas, il ne sert à rien de multiplier les pixels en rééchantillonnant dans ton logiciel graphique . On ne peut améliorer les choses qu'avec des logiciels dédiés au suréchantillonage, qui savent plus ou moins **deviner** les pixels qui manquent. Voir https://www.oitregor.com/numeric/reechantillonage/ pour une comparaison de quelques uns d'entre eux